Comments on: Allgemeine Frage zu Mengen

By: simons

simons — Mon, 29 Oct 2007 23:34:53 +0000

Eben, X muss NICHT in M enthalten sein und M KANN wahre Elemente haben (auch wenn M inkonsistent ist)

Die boolsche Bewertung bezieht sich ja nur auf M, nicht aber auch auf X (ausser es wäre tatsächlich in M enthalten).

Und selbst wenn X in M enthalten wäre könnte X trotzdem wahr und M inkonsistent sein.

Das ist, was ich sagen wollte, sorry, wenn ich für Verwirrung gesorgt hatte.

By: s0771801

s0771801 — Mon, 29 Oct 2007 12:54:02 +0000

Claudio’s Erklärung hat mir (nach etwas überlegen) eingeleuchtet.
Vielen Dank!

Simon’s Erklärung hab ich nicht verstanden.

Wie kommst du darauf, dass X in M enthalten sein muss/soll ?
Oder das M keine wahre Elemente enthalten kann ?

lg Christoph

By: simons

simons — Mon, 29 Oct 2007 00:22:57 +0000

Wenn M inkonsistent ist, heisst das ja nur, dass es keine boolsche Bewertung geben kann, in der alle Elemente von M wahr sind. D.h. aber nicht, dass es keine wahren Elemente darin haben kann. Ebenfalls heisst es nirgends, dass X in M enthalten sein muss.
X kann also ohne Probleme wahr sein und/oder aus M folgen, auch wenn M inkonsistent ist.
(hoffe zumindest, dass das stimmt)

By: Laura

Laura — Sun, 28 Oct 2007 08:20:18 +0000

Gute Erklärung! Ungefähr das hab ich auch sagen wollen, aber Claudio hat das viel eleganter gemacht.
Lg Laura

By: Claudio

Claudio — Sun, 28 Oct 2007 07:10:14 +0000

Ein weiterer Erklärungsversuch..

Behauptung: Eine inkonsistene Menge M impliziert jede Formel X.

Beweis (durch Widerspruch): Wir nehmen an, dass X nicht aus M folgt. Dann existiert - denn sonst würde X aus M folgen - eine boolesche Bewertung b, unter welcher alle Formeln aus M wahr sind und X falsch ist. Dies steht jedoch im Widerspruch zur Inkonsistenz von M. Ergo muss die Annahme falsch sein und die Behauptung ist damit bewiesen.

Gruss Claudio

By: s0771801

s0771801 — Sat, 27 Oct 2007 17:41:16 +0000

Ich habs nicht wirklich verstanden …

V.a. diesen Satz nicht:
“Wenn es M inkonsistent ist, dann folgt X aus M.”
(der scheint mir irgendwie nicht so gewollt zu sein

Wenn M ja inkonstistent ist, gibt es keine Boolsche Bewertung über A unter der alle in M enthaltenen Formeln wahr sind.
Also kann es auch keine Boolsche Bewertung über A geben, unter der alle Formeln die in M enthalten sind _und_ X wahr ist.
Also kann aus einer inkonsisten Menge nichts folgen.
Oder seh ich das falsch ?

Vielen Dank für die Hilfe!
lg Christoph

By: Laura

Laura — Sat, 27 Oct 2007 16:50:22 +0000

Ich versuche eine Erklärung:
Die Frage ist: was sagt uns dieser Satz von der Folie?

p: X folgt aus M.
q: X ist unter jeder Booleschen Bewertung über A wahr, unter der alle in M enthaltenen Formeln wahr sind.

Der Satz sagt, dass folgendes gilt:
p->q
q->p
nicht-p -> nicht-q
nicht-q -> nicht-p

nicht-q heisst soviel wie: es ist nicht der Fall, dass X unter jeder Boolschen Bewertung wahr ist, unter der alle in M enthaltenen Formeln wahr sind.
Was dasselbe wäre wie: Es gibt eine Boolsche Bewertung unter der alle in M enthaltenen Formeln wahr sind und unter der X nicht wahr ist.
X folgt nur nicht aus M, wenn es eine solche Boolsche Bewertung gibt. Wenn es M inkonsistent ist, dann folgt X aus M.
War das halbwegs verständlich? Sonst versuch ich es nochmals…
Lg laura