Übungsblatt 6/Aufgabe 8h)
(Hier eine mögliche Erklärung dafür, warum 8h) korrekt ist..)
i) Behauptung: Seien X, Y und Z die Prämissen eines gültigen Schlusses mit der Konklusion K. Dann gilt: {Y, Z, nicht-K} => nicht-X
Beweis (durch Widerspruch): Wir nehmen an, dass nicht-X nicht aus {Y, Z, nicht-K} folgt. Unter dieser Annahme existiert - andernfalls würde nicht-X aus {Y, Z, nicht-K} folgen - eine Boolesche Bewertung b, unter welcher alle Formeln aus {Y, Z, nicht-K} wahr sind und nicht-X falsch ist. Damit - in diesem Schritt wird mehrmals die Eigenschaft einer Booleschen Bewertung ausgenützt - existiert eine Boolesche Bewertung b, unter welcher gilt: b(Y) = w, b(Z) = w, b(K) = f und b(X) = w. Damit existiert eine Boolesche Bewertung b, unter welcher alle Formeln aus der Menge {X, Y, Z} wahr sind und K falsch ist. Dies steht jedoch im Widerspruch zur Tatsache, dass {X, Y, Z} K impliziert. Dieser Widerspruch kann nur davon herrühren, dass unsere Annahme falsch war. Also muss nicht-X aus {Y, Z, nicht-K} folgen, was den Beweis schliesst.
ii) Anmerkung: Wer Interesse hat, eine analoge Beweisführung selbst einmal zu tätigen, dem bietet sich beispielsweise folgende Behauptung an:
Behauptung: Seien X, Y und Z beliebige AL-Formeln. Weiter sei {Y, nicht-Z} inkonsistent und X impliziere Y. Dann gilt: X => Z
Beweis: …
s0771603 schrieb am 01 Nov 2007 um 1:50 am ¶
Danke für die Erklärung und den Beweis zu 8h. So macht Logik Spass.
Gruss R.
Student schrieb am 06 Nov 2007 um 4:38 pm ¶
Vielen Dank für die Erklärung zu 8.h)! Deine Zusatzaufgabe kapiere ich jedoch nicht wirklich. Ich gehe vor, wie du vorschlägst (Widerspruchsbeweis). Angenommen X=>Z ist falsch. Dann gibt es eine Boolesche Bewertung, unter der X wahr, Z aber falsch ist. Unter diesen Umständen ist nicht-Z wahr. Da die Menge {Y, nicht-Z} inkonsistent ist, müssen wir davon ausgehen, dass ihre Elemente nicht zugleich wahr sein können. Da nicht-Z wahr ist, muss Y falsch sein. Und jetzt? Wie soll sich daraus ein Widerspruch ergeben? Sorry, aber ich steh’ auf der Leitung.
Claudio schrieb am 06 Nov 2007 um 7:24 pm ¶
Hallo!
Dein Ansatz ist einwandfrei und beinahe vollständig, zumal alles Notwendige für das finale Argument schon aufgeführt ist. Das Problem liegt darin, dass du noch nicht alle Voraussetzungen, die der Behauptung zugrunde liegen, explizit in den (Widerspruchs-) Beweis eingearbeitet hast. Als “Faustregel” lässt sich festhalten, dass in einer zu beweisenden Aussage redundante Voraussetzungen eher selten sind und dass, falls sie dennoch vorkommen, wohl getrost von einem “schlecht” gestellten Problem gesprochen werden kann.
Lange Rede, kurzer Sinn: Vergegenwärtige dir die Definition von “X => Y” und setze an folgender Stelle deines Beweises ein: Es existiert eine Boolesche Bewertung b, unter der X wahr und Y falsch ist.