Höchstens zwei gerissene Spitzel
Ich habe eine Frage zu Aufgabe 3.h) auf dem Übungsblatt 3. Gesucht ist dort eine Formalisierung für den Satz “Es gibt nicht mehr als zwei gerissene Spitzel”. Die Musterlösung schlägt folgende Formel vor:
(1) ∀x∀y((((Px∧Qx)∧(Py∧Qy)) ∧¬(x=y)) → ∀z(Pz∧Qz → z=x ∨ z=y))
Aber braucht es die Bedingung, das x und y verschieden sind überhaupt? Würde nicht bereits die folgende Formel reichen?
(2) ∀x∀y((Px∧Qx)∧(Py∧Qy) → ∀z(Pz∧Qz → z=x ∨ z=y))
Vielen Dank fürs Mitgrübeln bereits im Voraus.
Cedric schrieb am 18 Mar 2008 um 3:22 pm ¶
Ich bin der Meinung, dass diese Unterscheidung unbedingt nötig ist.
Zunächst solltest du zwischen der Aussage und der daraus folgenden Möglichkeiten unterscheiden.
In beiden Fällen besteht die Möglichkeit, dass es keinen, einen oder zwei gerissene Spitzel gibt. Das stimmt soweit.
Bei der Aussage unterscheiden sie sich jedoch. Während (2) aussagt, dass es höchsten zwei gerissene Spitzel gibt (da stimmst du mir glaube ich zu), kann man (1) auf verschiedene Arten verstehen. Einerseits sagt (1) das gleiche wie (2) aus, anderseits kann es auch “es gibt höchstens einen gerissenen Spitzel” aussagen, nämlich genau dann, wenn x=y der Fall ist (was du nicht ausschliesst).
Demnach ist es bei (2) unter einer gewissen Bedingung (nämlich wenn x=y der Fall ist) nicht möglich, dass es zwei gerissene Spitzel gibt.
Da ich aber der Meinung bin, dass die Aussage unter allen (mir bekannten) Umständen stimmen muss, darf das nicht sein.
Ein häufiger Einwand war, dass es bei (2) ja dennoch möglich ist, dass es zwei Spitzel gibt (nämlich dann wenn x nicht gleich y ist).
In diesem Fall behaupte ich stets, dass x=y. Wenn diese zwei Variablen in meinem “Universum” stets gleich sind, dann ist es bei (2) unmöglich, dass es zwei gerissene Spitzel gibt. (Man muss eben zuerst darauf hinweisen, dass x nicht gleich y ist.)