Hallo zusammen
Ich habe einige Fragen bezüglich AL und PL:
- Sind AL-Formeln UND PL-Formeln wahrheitsdefinit? Ich habe gelesen, dass Junktoren der AL immer wahrheitsfunktional sind – PL-Junktoren auch? Sind ja eigentlich dieselben…
- Spielt die boolesche Bewertung bei PL keine Rolle? Also ist die BB nur auf AL anwendbar?
- Sind in AL Satzkonstanten das gleiche wie Satzvariablen (s. VL 6 Seite 3)?
- Was ist der Unterschied zwischen einer Bewertung und einer Funktion? Was ist eine prädikatenlogische Bewertung Pu?
Danke für eure Hilfe! 🙂
Hallo
1. Ja. Es handelt sich um dieselben Junktoren.
2. Die boolesche Bewertung spielen in PL defintiv eine Rolle. Es handelt sich ja schliesslich um dieselben Junktoren wie in der AL. Die BB sind also auch auf PL anwendbar. Wird auf Seite 17 der 9. Vorlesung ersichtlich.
3. Satzkonstanten und Satzvariabeln sind (wie auf VL 6 Seite 3 ersichtlich) identisch.
4. Bewertungen sind eine besondere Art von Funktion, wobei jeder aussagenlogischen/prädikatenlogischen Formel eine der zwei Wahrheitswerte „wahr“ oder „falsch“ zugeordnet wird. Dass jeder Aussage genau eine dieser zwei Wahrheitswerten zugeordnet wird, bezeichnet man als Bivalenzprinzip. Jede Bewertung ist also eine Funktion, aber nicht jede Funktion ist eine Bewertung.
Und zu den prädikatenlogischen Bewertungen: Erst einmal stellt „Pu“ keine Bewertung dar, sondern die Menge aller prädikatenlogischen Formeln. „U“ bezeichnet das Universum (die Menge, die alle Individuen umfasst). Nun werden für die Funktion „e“ drei Bedingungen festgelegt (VL09S17):
i. e ist eine Boolesche Bewertung für Pu.
ii. ∀ξ(Γ) ist genau dann wahr unter e, wenn für jedes α∈U Γ(ξ substituiert durch α) unter e wahr ist.
iii. ∃ξ(Γ) ist genau dann wahr unter e, wenn für mindestens ein α∈U Γ(ξ substituiert durch α) unter e wahr ist.
In i. wird die Boolesche Bewertung eingeführt – es gelten somit dieselben Bedingungen wie wie bereits für die AL (siehe VL06S13). In ii. wird bestimmt, was erfüllt sein muss, damit eine Allaussage wahr ist; dasselbe in iii. für Existenzaussagen. Unter diesen Bedingungen erlaubt uns die Funktion e eine Bewertung für Pu (die Menge aller prädikatenlogischen Formeln) über U (die Menge aller Individuen), sodass jeder PL-Formel der Wahrheitswert „wahr“ oder „falsch“ zukommt – und genau das sind prädikatenlogische Bewertungen(: Solche Definitionen sind teilweise etwas abstrakter, aber es lohnt sich diese genau anzuschauen, denn sie erleichtern einem den Zugang zur Materie.
Falls dir diese Ausführungen nicht ausreichen, darfst du gerne nochmals nachfragen.
Liebe Grüsse
Dominik und Udi