Übungsblatt 2, Aufgabe 9 (i)
Die Aufgabe lautet:
M sei eine Menge von Aussagen, A1, A2 und A3, aus der die Aussage A folgt. A1 sei eine Tautologie.
(i) Aus der Negation mindestens einer Aussage aus M folgt eine andere Aussage aus M.
1. Der Satz trifft zu, wenn man ihn folgendermassen versteht:
Es gibt mindestens eine Aussage aus M, sodass, wenn man diese negiert, notwendigerweise eine andere Aussage als A aus M folgt.
Meine Frage ist nun, ob man den Satz auch so, wie ich gleich unter 2. aufführen werde, verstehen kann.
2. Der Satz trifft nicht zu, wenn man ihn folgendermassen verstehen kann:
Wenn man mindestens eine Aussage (also eine Aussage oder auch mehrere; in jedem Falle aber eine oder mehrere beliebige Aussagen aus M) aus M negiert, dann muss notwendigerweise eine andere Aussage als A aus M folgen.
Wenn man nun also A1 negieren würde, erhielte man eine Kontradiktion (die Negation einer Tautologie ist eine Kontradiktion). Folglich wäre jede beliebige Konklusion möglich, also auch wieder A. Es müsste demnach nicht notwendigerweise eine andere Aussage als A aus M folgen.
Verstehe ich einfach das “mindestens” falsch? Oder sind tatsächlich diese beiden Arten, die Aufgabenstellung zu deuten, richtig?
Vielen Dank schon im Voraus,
Serena
Thomas Huber schrieb am 04 Oct 2007 um 6:35 pm ¶
Hallo Serena. Also, meiner Meinung nach sind deine beiden Aussagen richtig (ohne das genauer durchdacht zu haben). Nur dummerweise sind beide nicht die Antwort auf 9i.
Die Fehlüberlegung versteckt sich in deiner Aussage: “eine andere Aussage als A aus M folgt.” Mit “folgt eine andere Aussage aus M” war nämlich gemeint, es folgt entweder A1, A2, oder A3 (nicht A).
Der Lösungsweg müsste etwa so aussehen.
1. Negiere A1, die Tautologie wird zur Kontradiktion.
2. Aus einer Kontradiktion folgt beliebiges, also auch A1, A2 oder A3.
Somit ist i) schon richtig, weil aus der Negation mindestens einer Aussage (nämlich A1) eine andere Aussage aus M folgt (A1, A2, oder A3).
Es müsste auch andersrum gehen:
1. Negiere A2 oder A3.
2. Aus beiden folgt A1, weil eine Tautologie aus beliebigen Prämissen folgt.
Wieder ist i) richtig, weil aus der Negation mindestens einer Aussage (A2 oder A3) eine andere Aussage aus M folgt (A1).
Habe übrigens i) auch falsch beantwortet und müsste darum selbst noch eine Bestätigung zu diesen Überlegungen haben
Gruss
Thomas
Schuler schrieb am 05 Oct 2007 um 2:04 pm ¶
Ihr habt, soweit ich das sehe, recht: Die Frage lautet nämlich ob es einen Fall gibt, in dem eine beliebige Aussage aus M negiert werden kann und ob dann eine andere Aussage der bekannten Menge aus dieser Negation folgt (vgl. die Beispiele von Thomas)?
Die müssen wir bejahen, selbst wenn wir - aufgrund der Ambiguität die “aus M” innewohnt - uns fragen wollen, ob eine andere Aussage als A aus M folgen wird, denn aus der Negation von A1 folgt wasauchimmer.
Leider verstehe ich aber nicht ganz, was das “mindestens” in der ursprünglichen Fragestellung für eine Rolle spielt…
Rathgeb schrieb am 05 Oct 2007 um 7:54 pm ¶
Hallo zusammen. Ich stimme Euch grösstenteils zu, habe nur eine Ergänzung: Meines Erachtens könnte man die Frage auch so formulieren: “Gibt es mindestens eine Aussage aus M (also A1, A2 oder A3), aus deren Negation eine andere Aussage aus M folgt?” Dies ist, wie Thomas gezeigt hat, zu bejahen:
- Aus der Negation von A1 folgen A2 sowie A3.
- Aus der Negation von A2 folgt A1.
- Aus der Negation von A3 folgt ebenfalls A1.
Weshalb das so ist, hat Thomas bereits erklärt, ich stimme nur mit seinem Beispiel nicht überein, aus der Negation von A1 folge (u.a.) A1: Dies ist zwar richtig, kann aber nicht als Antwort auf die Frage gelten, da die Aufgabenstellung verlangt, dass eine andere Aussage als die negierte aus der Negation folgen soll.
Gruss, Nicole