Aufgabe 8
Hallo Zusammen
Ich habe noch eine Frage zum Übungsblatt 2, zur Aufgabe 8. Ich verstehe die Musterlösung nicht: weshalb ist der Schluss von A1, A2 und A3 auf nicht-A4 gültig?
Danke für die Antwort!
Weblog zur Einführung in die formale Logik [2. Jahrg.]
Hallo Zusammen
Ich habe noch eine Frage zum Übungsblatt 2, zur Aufgabe 8. Ich verstehe die Musterlösung nicht: weshalb ist der Schluss von A1, A2 und A3 auf nicht-A4 gültig?
Danke für die Antwort!
Thomas Huber schrieb am 08 Oct 2007 um 12:12 pm ¶
Im Skript zu Vorlesung 2 (Folie 13) gibt es die Aussage:
Wenn (S) ein gültiger Schluss ist, dann ist
{A1, A2, A3, …, An, NICHT-A } inkonsistent.
Hier haben wir einfach den umgekehrten Fall:
{A1, A2, A3, …, An, A } ist inkonsistent.
Somit ist
{A1, A2, A3, …, An, NICHT-A } konsistent.
Hier noch der Versuch eines Beweises zur Musterlösung Aufgabe 8
(bei dem ich mir nicht sicher bin, ob er ausreicht…)
A1, A2 und A3 sind miteinander konsistente Aussagen.
Das heisst, es ist möglich, dass sie alle zugleich wahr sind.
A1, A2, A3 und A4 sind miteinander INkonsistente Aussagen.
Das heisst, es ist NICHT möglich, dass sie alle zugleich wahr sind.
- Angenommen, A1, A2 und A3 sind alle wahr.
- Dann muss A4 falsch sein, um aus der Menge {A1, A2, A3, A4} eine
inkonsistente Menge zu machen.
- Nicht-A4 ist in diesem Falle wahr.
- Somit ist es möglich, dass die Aussagen A1, A2, A3, Nicht-A4 alle
zugleich wahr sein können.
Gruss
Thomas
Rathgeb schrieb am 09 Oct 2007 um 10:16 pm ¶
Hallo zusammen
Zwei Anmerkungen:
1. Thomas hat recht, wenn A aus der Menge {A1,…,An} folgt, dann ist die Menge {A1,A2,…,An,Nicht-A} inkonsistent. Der Grund dafür ist, dass es nur drei Konstellationen gibt, in denen ein aussagelogischer Schluss gültig ist:
(i) Die Prämissen sind inkonsistent, weil sie (mind.) eine Kontradiktion enthalten (beliebige Konklusion).
(ii) Die Prämissen sind inkonsistent, weil sie sich gegenseitig widersprechen (beliebige Konklusion).
(iii) Die Prämissen sind konsistent, und die Konklusion ist eine Tautologie.
In den Fällen (i) und (ii) ist die Menge {A1,…,An} ohnehin inkonsistent, also auch die Menge {A1,…,An,Nicht-A} (Durch das Hinzufügen einer zusätzlichen Aussage kann eine inkonsistente Menge von Aussagen nicht konsistent werden).
Im Fall (iii) ist die Menge {A1,…,An} zwar konsistent, mit Nicht-A kommt jedoch eine Kontradiktion (nämlich die Negation der Tautologie A) hinzu, weshalb die Menge {A1,…,An,Nicht-A} auch in dieser Konstellation inkonsistent ist.
2. Wenn ich dich richtig verstehe, Thomas, behauptest du, dass aus der inkonsistenten Menge {A1,…,An,A} immer eine konsistente Menge wird, wenn man A negiert. Dies ist jedoch nicht der Fall, unabhängig dessen, ob es sich bei A1-A um die Prämissen und die Konklusion eines gültigen Schlusses handelt oder um voneinander unabhängige Aussagen. Die Menge {A1,…,An} könnte ja beliebig viele Kontradiktionen enthalten, dann würde sie nicht konsistent durch Entfernung resp. Ergänzung von A resp. Nicht-A.
Viele Grüsse, Nicole
Rathgeb schrieb am 09 Oct 2007 um 10:32 pm ¶
Zur Musterlösung von Aufgabe 8, Übungsblatt 2:
Wir wissen, dass die Menge {A1,A2,A3} konsistent ist, die Menge {A1,A2,A3,A4} jedoch inkonsistent.
Bei A4 handelt es sich also entweder um eine Kontradiktion oder um die Negation von A1, A2 oder A3.
- Angenommen, A4 ist eine Kontradiktion. Dann ist Nicht-A4 eine Tautologie und der Schluss von A1, A2 und A3 auf Nicht-A4 in jedem Fall gültig, weil es nicht sein kann, dass die Prämissen wahr sind, die Konklusion jedoch falsch.
- Angenommen bei A4 handelt es sich um die Negation von A1. Dann handelt es sich bei Nicht-A4 um A1. Der Schluss von A1, A2 und A3 auf Nicht-A4 ist gültig, weil A1 gleichzeitig Prämisse und Konklusion ist. Es können also nicht alle Prämissen wahr und die Konklusion gleichzeitig falsch sein.
- Analog funktionieren die Fälle, in denen es sich bei A4 um Nicht-A2 bzw. Nicht-A3 handelt.
Thomas Huber schrieb am 10 Oct 2007 um 2:43 pm ¶
Das sollte definitiv keine Behauptung sein, ich vermute hier munter drauflos und behaupte erst, wenn ich einigermassen festen Boden unter den Füssen verspüre
Es war einfach ein ziemlich ungeschickter Verweis auf die Ähnlichkeit zwischen Musterlösung der Aufgabe 8 und Folie. Aber du hast ja jetzt (zumindest bei mir) alle Unsicherheiten zu dieser Frage aus dem Weg geräumt…