Allgemeine Frage zu Mengen
Zitat von Folie 9 aus Vorlesung 6:
X folgt ausM (M impliziert X) gdw. X unter jeder Booleschen Bewertung
über A wahr ist, unter der alle in M enthaltenen Formeln wahr sind.
Zitat Ende
Kann also aus einer unerfüllbaren (inkonsisten) Menge nichts folgen, oder ? (D.h. das ist nicht gleich wie bei einem logischen Schluss, wo ja bekanntlich alles folgen kann, wenn die Prämissen inkonsistent sind ?)
Gruss Christoph
Laura schrieb am 27 Oct 2007 um 6:50 pm ¶
Ich versuche eine Erklärung:
Die Frage ist: was sagt uns dieser Satz von der Folie?
p: X folgt aus M.
q: X ist unter jeder Booleschen Bewertung über A wahr, unter der alle in M enthaltenen Formeln wahr sind.
Der Satz sagt, dass folgendes gilt:
p->q
q->p
nicht-p -> nicht-q
nicht-q -> nicht-p
nicht-q heisst soviel wie: es ist nicht der Fall, dass X unter jeder Boolschen Bewertung wahr ist, unter der alle in M enthaltenen Formeln wahr sind.
Was dasselbe wäre wie: Es gibt eine Boolsche Bewertung unter der alle in M enthaltenen Formeln wahr sind und unter der X nicht wahr ist.
X folgt nur nicht aus M, wenn es eine solche Boolsche Bewertung gibt. Wenn es M inkonsistent ist, dann folgt X aus M.
War das halbwegs verständlich? Sonst versuch ich es nochmals…
Lg laura
s0771801 schrieb am 27 Oct 2007 um 7:41 pm ¶
Ich habs nicht wirklich verstanden …
V.a. diesen Satz nicht:
“Wenn es M inkonsistent ist, dann folgt X aus M.”
(der scheint mir irgendwie nicht so gewollt zu sein
Wenn M ja inkonstistent ist, gibt es keine Boolsche Bewertung über A unter der alle in M enthaltenen Formeln wahr sind.
Also kann es auch keine Boolsche Bewertung über A geben, unter der alle Formeln die in M enthalten sind _und_ X wahr ist.
Also kann aus einer inkonsisten Menge nichts folgen.
Oder seh ich das falsch ?
Vielen Dank für die Hilfe!
lg Christoph
Claudio schrieb am 28 Oct 2007 um 9:10 am ¶
Ein weiterer Erklärungsversuch..
Behauptung: Eine inkonsistene Menge M impliziert jede Formel X.
Beweis (durch Widerspruch): Wir nehmen an, dass X nicht aus M folgt. Dann existiert - denn sonst würde X aus M folgen - eine boolesche Bewertung b, unter welcher alle Formeln aus M wahr sind und X falsch ist. Dies steht jedoch im Widerspruch zur Inkonsistenz von M. Ergo muss die Annahme falsch sein und die Behauptung ist damit bewiesen.
Gruss Claudio
Laura schrieb am 28 Oct 2007 um 10:20 am ¶
Gute Erklärung! Ungefähr das hab ich auch sagen wollen, aber Claudio hat das viel eleganter gemacht.
Lg Laura
simons schrieb am 29 Oct 2007 um 2:22 am ¶
Wenn M inkonsistent ist, heisst das ja nur, dass es keine boolsche Bewertung geben kann, in der alle Elemente von M wahr sind. D.h. aber nicht, dass es keine wahren Elemente darin haben kann. Ebenfalls heisst es nirgends, dass X in M enthalten sein muss.
X kann also ohne Probleme wahr sein und/oder aus M folgen, auch wenn M inkonsistent ist.
(hoffe zumindest, dass das stimmt)
s0771801 schrieb am 29 Oct 2007 um 2:54 pm ¶
Claudio’s Erklärung hat mir (nach etwas überlegen) eingeleuchtet.
Vielen Dank!
Simon’s Erklärung hab ich nicht verstanden.
Wie kommst du darauf, dass X in M enthalten sein muss/soll ?
Oder das M keine wahre Elemente enthalten kann ?
lg Christoph
simons schrieb am 30 Oct 2007 um 1:34 am ¶
Eben, X muss NICHT in M enthalten sein und M KANN wahre Elemente haben (auch wenn M inkonsistent ist)
Die boolsche Bewertung bezieht sich ja nur auf M, nicht aber auch auf X (ausser es wäre tatsächlich in M enthalten).
Und selbst wenn X in M enthalten wäre könnte X trotzdem wahr und M inkonsistent sein.
Das ist, was ich sagen wollte, sorry, wenn ich für Verwirrung gesorgt hatte.