Log. Quadrat
Zwei Fragen zu den Folien 3-5 der 10. Vorlesung:
Kann mir jemand den Unterschied zwischen einem leeren Individuenbereich und einem leeren Prädikat erklären?
Weiter werde ich aus dem einleitenden Satz auf Folie 3 nicht schlau. Warum nehmen wir an, dass die beiden Formeln im zweiten Satzteil Tautologien sind? Ist das eine Bedingung für das log. Quadrat?
Danke, Michael
Laura schrieb am 16 Dec 2007 um 7:37 pm ¶
Dass der Individuenbereich leer ist heisst, dass es in dem Bereich über den wir sprechen kein Individuum, also kein einiziges Ding gibt. Wenn der Individuenbereich leer wäre, dann könnte man über gar nichts eine Aussage machen. Denn auch wenn man sagen würde “Für alle x gilt..” würde man über kein einziges Ding eine Aussage machen, weil es kein Individuum gibt in dem Bereich über den wir sprechen. Um das zu verhindern gehen wir immer davon aus, dass wir über einen nichtleeren Individuenbereich sprechen.
Ein leeres Prädikat ist einfach eines unter das keine Dinge fallen. Also zum Beispiel kannst Du sagen “Px: x ist ein feuerspeiender Drache” und weil es in der PL möglich ist, dass es leere Prädikate gibt, ist damit noch nicht gesagt, dass es auch etwas gibt, was ein feuerspeiender Drache ist. Denn das Prädikat könnte auch leer sein.
Zu dem Satz auf der Folie: In dem Satz soll erläutert werden, was “kontradiktorisches Gegenteil” heisst. Dass (XvY) eine Tautologie sei ist eine Annahme für diese Erläuterung.
Liebe Grüsse
Laura
michaelmuelli schrieb am 16 Dec 2007 um 9:09 pm ¶
Wenn ich wie auf Seite 3 angegeben, “Alles ist P.” und “Einiges ist nicht P.” im Sinne von XvY als Tautologie betrachte, wäre es ja möglich, dass beide unmittelbaren Teilformeln wahr sind. Ich dachte aber, im log. Quadrat könne ich von der Wahrheit der einen auf die Falschheit der anderen Formel schliessen?
Rathgeb schrieb am 16 Dec 2007 um 10:30 pm ¶
Auf Folie 3 der VL 10 steht, dass sowohl
(1) ¬(X ∧ Y)
als auch
(2) X v Y
Tautologien sind, wenn X und Y sich kontradiktorisch zueinander verhalten. Gemäss (1) können X und Y nicht gleichzeitig wahr sein.
Aber dass die Aussagen “Alles ist P.” und “Einiges ist nicht P.” nicht gleichzeitig wahr sein können, siehst Du schon daran, dass die eine Aussage die Negation der anderen ist:
Alles ist P.: ∀xPx resp. ¬∃x¬Px
Einiges ist nicht P.: ¬∀xPx resp. ∃x¬Px
Wenn sich Y zu X kontradiktorisch verhält, handelt es sich bei Y also um (eine Formel, die äquivalent ist zu) ¬X, und ¬(X ∧ ¬X) ist eine Tautologie.
Gruss, Nicole