Hallo zusammen, könntet ihr bitte die Aufgabe 5 des Übungsblattes 3 erklären/anders formulieren? Ich kann die Musterlösung leider nicht nachvollziehen. Danke.
Weblog zur Einführung in die formale Logik [13. Jahrgang]
Hallo zusammen, könntet ihr bitte die Aufgabe 5 des Übungsblattes 3 erklären/anders formulieren? Ich kann die Musterlösung leider nicht nachvollziehen. Danke.
Hallo!
Das ist tatsächlich eine Aufgabe, deren Antwort schwer auszuformulieren ist. Ich will es so versuchen:
Ein Satz, der eine binäre Relation zum Ausdruck bringt, kann jeweils in drei Teile zerlegt werden: „Iris sieht Marc“ kann zerlegt werden in „Iris“, „Marc“ und die Relation „… sieht …“. Dies wiederum kann formalisiert werden als Rab, wobei R_ _ für die zweistellige (i.e. binäre) Relation steht (im Beispiel „… sieht …“), a für den einen Ausdruck (also „Iris“) und b für den anderen Ausdruck („Marc“). Dabei ist die Reihenfolge von a und b nach R entscheidend: „Iris sieht Marc“ ist offensichtlich nicht das gleich wie „Marc sieht Iris“.
Eine beliebige Relation R ist also:
Reflexiv, wenn Raa immer zutrifft (Anna ist immer gleich gross wie Anna);
Irreflexiv, wenn Raa nie zutrifft (Ich beerbe nie mich selbst);
Symmetrisch, wenn, falls Rab zutrifft, immer auch Rba zutrifft;
Asymmetrisch, wenn, falls Rab zutrifft, nie Rba zutrifft;
Transitiv, wenn, falls Rab und Rbc zutreffen, immer auch Rac zutrifft;
Intransitiv, wenn, falls Rab und Rbc zutreffen, nie Rac zutrifft.
Dies vorausgesetzt kommen wir nun zu den Aufgaben:
(a): Gegeben ist eine asymmetrische Relation S. Wäre dieselbe Relation auch reflexiv träffe Saa zu.* Saa könnte umformuliert werden zu Saa. Genau dieser Wechsel ist aber aufgrund der Asymmetrie nicht möglich. Also kann Saa nie zutreffen, d.h. S ist auch irreflexiv.
(b) Gehen wir von einer transitiven Relation T aus: Falls Tab und Tba zutreffen, trifft auch Taa (reflexiv!) zu. Trifft Tab zu, so trifft auch Tba zu, weil aufgrund der Aufgabenstellung T auch symmetrisch ist. Also ist T als transitive und symmetrische Relation immer auch reflexiv.
(c) Gehen wir von einer transitiven Relation U aus: Falls Uab und Uba zutreffen, würde auch Uaa zutreffen. Aber genau dieser Fall ist ausgeschlossen, weil U in der Aufgabenstellung als irrefelxiv definiert wurde. Uab und Uba können also nie gleichzeitig zutreffen, U ist somit asymmetrisch.
(* Das eine a ist nur deshalb kursiv, um den Wechsel der Stelle deutlich zu machen.)
Ich hoffe, diese Ausführungen sind nachvollziehbar. Ansonsten gerne nachfragen oder ins Tutorat kommen!
Lieber Gruss,
Alex
Hallo Alex
Vielen Dank für die Erklärung!
Ich hätte noch eine Frage zu b) bzw. c): Wieso kannst du sagen, dass wenn Tab und Tba zutreffen auch Taa zutrifft bzw. Uab und Uba zu Uaa? Die Reflexivität ist doch bei b) das, was man aufzeigen sollte, d.h. es sollte sich doch aus der Transitivität und der Symmetrie ergeben und nicht bereits von Anfang an angenommen werden.
Danke schon im Voraus.
Hallo:)
Zunächst entschuldige die äusserst späte Antwort. Irgendwie ist dein Kommentar in den Spam gekommen und deshalb hab ich ihn erst heute gesehen. Sorry!
Zu deiner Frage: Ich kann sagen, dass „wenn Tab und Tba zutreffen auch Taa zutrifft“ weil ich die Transitivität von T_ _ angenommen habe. Transitivität habe ich oben als falls Rab und Rbc zutreffen, immer auch Rac zutrifft definiert. Nun können wir c durch a ersetzen und erhalten: falls Rab und Rba zutreffen, immer auch Raa zutrifft. Durch Raa wiederum wurde Reflexivität definiert.
Zu b): Auch hier setze ich keine Reflexivität voraus, sondern lediglich was in der Aufgabe gegeben ist, nämlich
(1) Tab (eine beliebige binäre Relation),
(2) die Transitivität von Tab und
(3) die Symmetrie von Tab.
Die weiteren Überlegungen lassen sich formal so darstellen:
p: Tab trifft zu.
q: Tba trifft zu.
r: Taa trifft zu.
p (1. Annahme)
p → q (wahr wegen 3. Annahme)
(p ∧ q) → r (wahr wegen 2. Annahme)
∴ r
Das Überprüfen der Gültigkeit dieses Schlusses im Baumkalkül überlasse ich gerne dir.
Lieber Gruss, Alex
Hallo Alex,
Vielen Dank nochmals für deine Antwort!