Beim Lösen des Baumkalküls habe ich z.T. andere Bäume (eine andere Reihenfolge der einzelnen Prämissen) erhalten. Es waren aber dieselben Prämissen,nur in einer (nicht wahnsinnig) anderen Reihenfolge. Ich habe aber darauf geachtet, dass α- Formeln zuerst entwickelt werden. Die Resultate waren auch immer dieselben. Geht das dann in Ordnung so?
Ausserdem habe ich bei ÜB 8 Aufg. 2b die Elemente der Menge {p∨q, p→r, q→s} folgendermassen mit der Konjunktion verbunden: ((p ∨ q) ∧ (p → r)) ∧ (q → s). In der Lösung wird allerdings folgendes vorgeschlagen: (p ∨ q) ∧ ((p → r) ∧ (q → s)).
Gibt es einen Grund für die spezifische Verbindung und KLammersetzung. Wenn ja, welcher ist das und nach welchen Kriterien? Die Bindungsstärke der einzelnen Junktoren ist mir klar, aber in diesem Fall ist es ja jedes Mal ein gate.
Liebe Grüsse und herzlichen Dank
A follower of the Phil
Lieber beliebiger Anhänger des Phil-Kreises
Bei einer AL-Formel (und auch bei einer PL-Formel) machen wir Boolesche Bewertungen. Was uns dabei besonders interessiert, ist, ob dabei die Formel unter jeder Booleschen Bewertung wahr ist (da sie dann logisch wahr ist und somit eine Tautologie). Um dies zu prüfen nehmen wir uns das Beth-Kalkül zur Hilfe (Stichwort: Beweis). Darin werden Schritt für Schritt die Hauptoperatoren eliminiert, und wie du ja weisst, ist der Syntax in AL bzw. PL eindeutig festgelegt. Im Falle von
1. X∧Y
2. X (α-Formel aus 1.)
3. Y (α-Formel aus 1.)
spielt es nun keine Rolle, ob du erst „X“ aus 2. oder „Y“ aus 3. weiterentwickelst. Denn beide sind unmittelbare Teilformel der Formel aus 1. Hingegen im Falle von
1. (X∧Y)∧Z
2. X∧Y (α-Formel aus 1.)
3. Z (α-Formel aus 1.)
Kannst du nicht direkt mit „X“ oder „Y“ aus 2. fortfahren, da „X“ oder „Y“ keine unmittelbare Teilformel von 1. sind. Um nicht den Syntax der Formel aus 1. zu vernachlässigen müsstest du erst noch „X∧Y“ in einem einzelnen Schritt per α-Formel auflösen. Jedoch steht es dir völlig frei, ob du erst „X∧Y“ oder „Z“ weiterentwickelst, da beide unmittelbare Teilformeln von 1. sind. Je nach dem, ob nun erst „Z“ oder „X∧Y“ weiterentwickelt wurde, sieht der Baum verschieden aus – alle Versionen berücksichtigen aber den Syntax der Formel aus 1. und sind korrekt. Sollte dein Baum nun anders ausgesehen haben, da er wie eben gezeigt different entwickelt wurde, dann ist das überhaupt kein Problem.
Vielleicht wird dir die Pointe auch klarer, wenn ich dir die zweite Frage beantworte: Der Vorzug von AL und PL ist gerade, dass diese Sprachen syntaktische Ambiguitäten ausschliessen. Die Hierarchie der Operatoren muss determiniert sein. Wenn das nicht durch die Bindungsstärke der Junktoren erfolgt, dann müssen Klammern gesetzt werden. Die Formeln
X∧(Y∧Z)
und
(X∧Y)∧Z
sind äquivalent. Es spielt also überhaupt keine Rolle, wie die Klammern gesetzt werden – Hauptsache ist, dass sie gesetzt werden. (Es mag aber durchaus der Fall sein, dass du eine Aussage in Normalsprache wie „Peter mag Lisa und Berta mag Tom, und ausserdem spielen Katzen Klarinette“ in AL übersetzen musst und dabei die Struktur berücksichtigen sollst. In meinem Beispielssatz wäre der Hauptoperator durchaus indiziert.)
Weshalb wir das tun müssen, wird bei anderen Junktoren ersichtlich. Bspw.
(X→Y)→Z
und
X→(Y→Z)
sind nicht äquivalent. Vielleicht siehst du nun das Problem, welches besteht, sollte einfach „X→Y→Z“ stehen. Denn dann wäre nicht klar, was genau diese Formel bedeuten soll.
Ich hoffe, meine Ausführungen halfen weiter. Ansonsten darfst du gerne nochmals nachfragen.
Liebe Grüsse
Uddhava