Bei der Bearbeitung des Übungsblatts sind folgende Fragen bei uns aufgekommen:
Wozu kann die Einführung einer Negation nützlich sein?
Wie geht man mit negierten Formeln um? Kann man sie immer mit der Elimination der Negation (negierte Formel (Hyp) und nicht-negierte Formel (Hyp)) auf einen Widerspruch zurückführen? Oder darf diese Regel nur angewendet werden, wenn eine der beiden Formeln eine AL-Tautologie bzw. bewiesene Formel ist?
Danke und viele Grüsse.
Liebe Jana
Die Einführung einer Negation (I¬) beim natürlichen Schliessen kann für mehrere Zwecke nützlich sein z.B. wenn ihr die Negation einer bestimmten Formel für den weiteren Ablauf des Beweises braucht. Zudem löst die (I¬) eine Abhängigkeit (Sternchen) von der Hypothese auf. Bsp.:
1….
2….
…
4.___∗_____________p –> (p∧q)
6…..
7.___∗_____________⊥
8._________________¬ (p –> (p∧q)) 4,7 (I¬)
Wichtig, die Sternchen von 4. und 7. müssen sich auf dieselbe Hypothese beziehen. Wenn ihr einen Beweis für eine Formel machen wollt, muss diese am Schluss des Beweises ohne Sternchen stehen, ansonsten habt ihr nur bewiesen, dass die Formel sich aus den Hypothesen ableiten lässt. (Dies kann natürlich auch gefragt sein, seht VL 09, Seite 11)
Das ist auch gerade die Beantwortung eurer zweiten Fragen. Ihr könnt zwei sich widersprechende Hypothesen einführen, aber es hilft euch nicht weiter. Z.B. (p–>p) mit Hilfe eines indirekten Beweises beweisen:
1.___________∗______¬(p–>p)____________hyp.
2.____∗______________(p–>p)____________hyp.
3.____∗______∗________⊥_________1,2_____(E¬)
4.____∗______________¬¬(p–>p)__3,1_____(I¬)
5.____∗______________(p–>p)_____4_______(DN)
Dieses Beweis zeigt lediglich, dass (p–>p) aus (p–>p) ableitbar ist. Am Schluss sollte aber (p–>p) ohne Sternchen stehen.
Wenn Ihr z.B. die Formel α mit Hilfe eines indirekten Beweises beweisen wollt und dafür mit der Annahme der Negation von α beginnt. Dann, da es einen Beweis für α ist, ist auch hier das Ziel, dass am Schluss α ohne Sternchen steht.
Zu eurer letzten Frage: Nein, die Formeln müssen keine Tautologien sein.
Ich hoffe, ich konnte euch weiterhelfen, sonst einfach nachhaken;)
liebe Grüsse
Julia