Liebes Logik-Team
Könntet Ihr mir bei folgenden Fragen weiterhelfen?
- Sind logisch gültige Schlüsse immer beweisbare (bewiesene?) Schlüsse?
- Sind logisch gültige Schlüsse immer Tautologien?
- Falls logisch gültige Schlüsse immer Tautologien sind, würde das nicht heissen, dass Schlüsse nicht nur gültig, sondern auch wahr sein können?
- Sind logisch gültige Schlüsse und gültige Schlüsse dasselbe?
- Stimmt das: Etwas zu beweisen heisst aufzuzeigen, dass es sich es sich beim zu Beweisenden um eine Tautologie handelt? Ein Beweis ist also ein Verfahren, das zeigen soll, dass etwas wahr sein muss?
Schon im Voraus besten Dank für Eure Mühe.
Urs
3 Comments
Lieber Urs
1) Ja. Um sagen zu können, dass ein Schluss logisch gültig ist, müssen wir das auch beweisen können. Die Beweisverfahren, die ihr in der Vorlesung kennengelernt habt, sind ja jeweils auf ihre Vollständigkeit und Korrektheit überprüft: „Ein Kaklül ist genau dann korrekt und vollständig, wenn in ihm alle logisch wahren Sätze und nur logisch wahre Sätze bewiesen werden können.“
Wie wir aber gesehen haben, kann es zum Beispiel sein, dass eine prädikatenlogische Tautologie mithilfe der Aussagenlogik nicht als solche bewiesen werden kann, mit PL-Beweisfahren jedoch natürlich schon.
2) Genau, mit unseren Kalkülen prüfen wir, ob die Aussage eine Tautologie ist. Wir wollen wissen, ob die Aussage nicht nur wahr, sondern logisch wahr ist. (siehe Logik 1; Vorlesung 6, Folie 12)
3) Dies scheint mir ein ungültiger Schluss zu sein
Dazu rate ich dir, die Unterlagen von Logik 1 nochmals anzuschauen und folgende Unterscheidung nicht zu vergesesn: „Gültigkeit ist eine Eigenschaft von Schlüssen….“
„Wahrheit dagegen ist eine Eigenschaft einzelner Annahmen, Aussagen oder Behauptungen.“
(In Logik 1, Vorlesung 1, Folie 14)
4) Nein, es ist nicht dasselbe. Auch hier lohnt sich ein Blick zurück zur Logik 1. „Verdankt sich die Gültigkeit eines Schlusses allein seiner logischen Form (Struktur), handelt es sich um einen logisch oder formal gültigen Schluss.“ (Logik 1, Vorlesung 1, letzte Folie)
5) Ja, wir möchten beweisen, dass eine Formel logisch wahr, also eine Tautologie ist. Wie der Beweis jedoch vollzogen wird, ist unterschiedlich. Im Baumkalkül beispielsweise beweisen wir, dass eine bestimmte Formel eine Tautologie ist, indem wir zeigen, dass ihre Negation nicht erfüllbar ist.
Ich hoffe, das hilft dir weiter.
Liebe Grüsse
Samantha
Liebe Samantha
Herzlichen Dank für die prompte Beantwortung!
4) und 5) leuchten mir ein. Bei 2) und 3) bin ich mir immer noch unsicher. Ich habe die alten Folien nochmals angeschaut und habe nun den Eindruck, dass ein Schluss genau genommen keine Tautologie sein kann, dass also meine 2. Behauptung nicht stimmt. Wie auf F12 von V6 angegeben, sind ausschliesslich Formeln (Aussagen) wahr oder falsch. Ein Schluss ist aber keine Formel oder Aussage, sondern ein Menge von Aussagen oder ein System von Sätzen (siehe VL 1 F12 und F13) und kann daher auch nicht wahr oder falsch sein (und damit auch keine Tautologie). In Kalkülen beweisen wir also nicht die Gültigkeit von Schlüssen, sondern (nur) dass Aussagen mit einer bestimmten Struktur (nämlich der Struktur eines logisch gültigen Schlusses) zwingend wahr sind.
Und noch ein Problem mit 1) und 5): Wenn ein Beweis ein Verfahren ist, das aufzeigen soll, ob etwas wahr ist, kann dieses Verfahren nicht auf einen Schluss angewendet werden, da ja ein Schluss weder wahr noch falsch sein kann. Das wiederum hiesse, dass die Gültigkeit eines Schlusses nicht bewiesen werden kann und 1) falsch ist.
Bitte entschuldige die Umstände, aber ich wäre sehr froh, wenn Du mir nochmals erklären könntest, ob und warum ich mit diesen Überlegungen falsch liege.
Herzlichen Dank!
Urs
Lieber Urs
So wie ich das sehe, handelt es sich hier eher um eine Frage um Begriffe, als um Inhalt. Der Begriff „Formel“ kann Verschiedenes bezeichnen (z.B. den ganzen Schluss, aber auch nur das Antezedens, nur das Konsequens usw.). Eine Formel kann ja auch beliebig komplex sein. Zum Beispiel kann es sich um eine Formel eines gültigen Schlusses handeln. Mit dem Kalkül prüfst du, ob die Formel logisch wahr ist. Ist die Formel logisch wahr, ist der Schluss deduktiv logisch gültig. Wir sagen von einem Schluss einfach nicht, dass er wahr/falsch ist.
Du sagst „In Kalkülen beweisen wir also nicht die Gültigkeit von Schlüssen, sondern (nur) dass Aussagen mit einer bestimmten Struktur (nämlich der Struktur eines logisch gültigen Schlusses) zwingend wahr sind.“ Meiner Ansicht nach schliessen sich die beiden Dinge nicht aus. Die Formel besteht aus einem logisch gültigen Schluss. Du beweist, dass die Formel zwingend wahr ist und somit dass der Schluss logisch gültig ist.
Du kannst auch z.B. die Formel p v -p beweisen. Damit beweist du keinen Schluss, sondern eine Formel in Form einer Adjunktion. Du zeigst, dass die Adjunktion eine Tautologie ist. Genauso kannst du zeigen, dass ein Konditional eine Tautologie ist. Ich glaube, wenn du siehst, dass ein Konditional auch eine Tautologie sein kann, löst das dein Problem (oder zumindest teilweise). p ^ -p -> q Aus einer Kontradiktion folgt Beliebiges. Somit ist diese Aussage logisch wahr. Die Aussage ist ein Konditional, hier ein logisch gültiger Schluss. Wenn wir vom Schluss sprechen, nennen wir ihn „gültig“, wenn wir von einer Formel oder Aussage sprechen, nennen wir sie „wahr“. Im Vorgehen ändert sich aber nichts. Ich verweise damit lediglich auf die Sprachkonvention.
Du musst dich nicht entschuldigen, diese Plattform ist für Fragen da! Ich bin mir nur nicht sicher, ob ich dir weitergeholfen habe. Ansonsten kannst du auch gerne in einem Tutorat vorbeischauen oder hier weiterfragen
Liebe Grüsse
Samantha
Post a Comment