zu b): „Eine PL-Formel ist genau dann logisch wahr, wenn sie unter jeder Booleschen Bewertung wahr ist.“ In der Vorlesung 10 Folie 11.a steht aber, dass eine PL-Formel logisch wahr ist, gdw. sie unter jeder prädikatenlogischen Bewertung wahr ist. Prädikatenlogische Bewertung müssen doch mehr Bediengungen erfüllen (V10F10) als nur Boolesche Bewertungen, nicht wahr?
zu d): „Jede logische Tautologie ist eine logisch wahre PL-Formel.“ Wieso ist dies nicht der Fall? Können Sie mir ein Beispiel für eine logische Tautologie, die nicht eine logisch wahre PL-Formel ist?
zu f): „Prädikatenlogische Kontradiktionen können aussagenlogisch erfüllbar sein.“ Wieso ist das zutreffend? Können Sie mich auch hierfür ein Beispiel machen?Danke vielmalsGuido A.
3 Comments
Lieber Guido
b) Jede prädikatenlogische Bewertung (PB) ist auch eine boolesche Bewertung (BB). (Vgl. VL 10, F 10) Oder anders gesagt: Die boolesche Bewertung ist Teil einer prädikatenlogischen Bewertung.
Wie du richtig bemerktst, ist eine PL-Formel logisch wahr gdw. sie unter jeder PB wahr ist. Weil die PB auch eine BB ist, ist die Formel damit auch logisch wahr gdw. sie unter jeder BB wahr ist.
d) Es gibt auch (formal-)logische Tautologien, die weder AL- noch PL-Tautologien sind. Bsp. Modallogik, Pl mit Identität, Prädikatenlogik zweiter Stufe etc.
Beispiel für PL mit Identität: Pa∧(a=b)→Pb
f) z.B. ∀x(Px∧¬Px) ist eine PL-Kontradiktion, in AL wäre der Satz einfach als „p“ zu formalisieren (erfüllbar).
Weiteres Beispiel: ∀xPx∧¬Pa ist eine PL-Kontradiktion, in AL wäre es einfach p∧¬q, was erfüllbar ist.
Hoffe ich konnte dir helfen. Herzliche Grüsse,
Simon
Vielleicht noch als Nachtrag zu b):
Dein Einwand scheint darauf zu beruhen, dass es so scheint (so wie es auf der Folie dargestellt ist), als ob die BB nur eine von mehreren Bedingungen ist, die zusammen notwendig und hinreichend dafür sind, dass eine Bewertung eine PB ist. Wenn das so wäre, dann würde die BB allein tatsächlich nicht sicherstellen, dass es sich um eine PB handelt. Das sagt aber die Definition nicht. (Beachte den Klammerkommentar am Ende von F 10.)
Im Gegensatz zur BB bei AL, die auf einer Bewertung der atomaren Satzkonstanten beruht, beruht eine PB einer Formel auf einer Interpretation. D.h. jeder Prädikats- und und Individuenkonstante wird eine Bedeutung zugewiesen, d.h. es wird festgelegt welche Prädikate (z.b. Student sein) welchen Dingen (z.B. Guido, Simon, Adalbert etc.) zugeschrieben werden. Dann kann entschieden werden, ob die besagten Prädikate auch tatsächlich auf die Individuen zutreffen, d.h. durch die Interpretation wird z.B. den Sätzen ∀xPx und Pa ein Wahrheitswert zugeschrieben.
Da die Junktoren (Operatoren von AL) aber auch Teil von PL sind, beruht eine vollständige PB auch auf einer BB. (Denn die BB ist eine Bewertung im Einklang mit den Wahrheitstafeln der Junktoren.) So wird etwa dem Satz ∀xPx→Pa durch Interpretation und mithilfe der Regeln der BB ein Wahrheitswert zugeschrieben. Man kann also sagen, dass eine PB eine BB ist, die noch weitere Regeln berücksichtigt. Somit beinhaltet die BB einer PL-Formel gewissermassen die obige Konstanteninterpretation. (Dennoch ist sie eine Boolesche Bewertung!) Oder anders gesagt: Wenn ich eine PL-Formel boolesch bewerte, mache ich eine prädikatenlogische Bewertung.
Danke vielmals für die Erklärung und die Beispiele.
Lieber Gruss
g.
Post a Comment