Hallo,
ich habe folgende Frage zum prädikatenlogischen Beth-Kalkül:
Angenommen, auf dem Ast eines Baumes befindet sich im oberen Bereich der Ausdruck „Für alle x gilt: Px“. Weiter unten auf dem selben Ast steht nun der Ausdruck „Es gibt ein x für das gilt: Nicht-Px“.
Offensichtlich widersprechen sich beide Aussagen.
Der obere Ausdruck wird durch Allbeseitigung (AB) zu „Pa“. Der untere Ausdruck wird durch Existenzbeseitigung (EB) zu „Nicht-Pb“ (denn die Konstante „a“ darf ja, weil sie weiter oben auf dem selben Ast vorkommt, nicht gewählt werden).Nun könnte (angenommen, es gibt sonst keine Widersprüche) der Ast ja nicht geschlossen werden, obwohl sich die beiden ursprünglichen Aussagen doch offensichtlich widersprechen. Ich befände mich in einer Sackgasse.
Würde ich zuerst die EB und erst dann die AB durchführen, liesse sich der Baum aber schliessen, da ich bei der AB die Konstante ja frei wählen darf.
Bedeutet das, dass ich immer zuerst EBs und erst dann ABs durchführen muss?
Oder soll ich in so einem Fall die AB mit einer passenden Konstanten wiederholen? Das würde erklären, wieso das in der VL erwähnt wurde (vgl. VL11, Folie 4, unten links). Ich kann sonst auch keinen anderen Anlass für die Durchführung dieser Massnahme erkennen.
Liebe Grüsse und schon jetzt danke für die Auskünfte!
One Comment
Wie du richtig bemerkst, ist es grundsätzlich strategisch besser, zuerst Existenzbeseitigungen vorzunehmen, damit sich er Baum früher schliesst. Allerdings funktioniert der Kalkül auch, wenn du so vorgehst, wie du es im Beispiel beschrieben hast (Zuerst AB, dann EB). In diesem Fall entwickelst du die Allaussage anschliessend einfach nochmals (nach Pb), da eine AB beliebig oft mit beliebigen Konstanten durchgeführt werden darf. Hierbei ist insbesondere zu beachten, dass du die nochmals durchgeführte AB bei jedem offenen Ast des Baumes anhängst!
Überdies kann es natürlich auch Fälle geben, in denen die AB vor der EB durchgeführt werden muss, was sich aus der Formelstruktur ergeben kann (z.B. bei ∀x(Px∧∃y¬Py) Hier ist ohnehin mit mehrfacher AB zu operieren.
Herzlich, Simon
Post a Comment